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新型游動坐標法及其在復雜形狀刀具數控磨削中的應用

作者： 2013年07月22日來源：瀏覽量：

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圖1復雜形狀刀具幾何模型1引言鉆頭、螺旋槽立銑刀等復雜形狀刀具的功能表面(如前刀面、后刀面等)往往具有球形螺旋面、變導程螺旋面等復雜形狀。為滿足刀具的設計要求，以圓錐球頭立銑刀為代表的復雜形狀刀具需要在數

圖1 復雜形狀刀具幾何模型

1 引言

鉆頭、螺旋槽立銑刀等復雜形狀刀具的功能表面(如前刀面、后刀面等)往往具有球形螺旋面、變導程螺旋面等復雜形狀。為滿足刀具的設計要求，以圓錐球頭立銑刀為代表的復雜形狀刀具需要在數控工具磨床上實現數控磨削成形。

本文通過對復雜形狀刀具幾何角度和CNC磨削工藝的研究，提出一種新的游動坐標系刀位計算方法(簡稱新型游動坐標法)。應用該方法可方便地進行復雜形狀刀具數控磨削的刀位計算，并可實現復雜形狀刀具幾何角度的精確磨削。

2 新型游動坐標系的建立

在數控磨削過程中，砂輪的空間位置(刀位)需由其中心位置(X，Y，Z)及姿態角(F，q)來確定。目前常用的刀位計算方法是以刀刃曲線及刀具法前角等設計參數作為控制砂輪運動的依據，根據磨削過程中滿足刀具被磨削表面要求的砂輪與工件間的空間相對位置關系進行計算，同時綜合考慮數控磨床的運動配置、運動參數以及計算過程的精確性和簡潔性。

建立游動坐標系的刀位計算方法是目前較為有效的刀位計算方法，該方法是以刀刃線上的點作為原點建立游動坐標系，根據刀具的設計參數(如前角、后角、刀槽深度等)確定該點處砂輪與工件間的空間相對位置關系，即確定砂輪中心及其軸線向量在游動坐標系中的坐標，并結合機床的運動配置，經過一系列坐標變換得到砂輪在機床坐標系中的位置坐標及姿態，從而獲得砂輪刀位。

建立一個合適的游動坐標系是應用該刀位計算方法的關鍵。在此游動坐標系中，必須能方便、準確地確定加工過程中砂輪的位置與姿態，以便簡潔地計算出正確的刀位。同時，在加工過程中，此游動坐標系必須能光滑連續地變化，以保證加工出光滑的刀具特征表面。目前主要采用刃線在加工點C_i處的Frenet標架作為游動坐標系，即三個坐標軸分別為刃線在該點的切向量T_i、主法向量N_ci和副法向量B_ci。

在圖1所示復雜形狀刀具幾何模型中，顯示了回轉曲面刀體S及刀體上刃線C，設C_i為正在加工的刃點。圖中所示工件坐標系O_p-X_pY_pZ_p的原點O_p位于工件(即被加工刀具)的回轉軸線上。在該坐標系中，刀具外形曲面可表示為

S(u，v)=｛x(u，v)，y(u，v)，z(u，v)｝(u，v)∈D

(1)

曲面S上的曲線可表示為

C(t)= S( u(t)，v(t))=｛x(t)，y(t)，z (t)｝ t∈(t₀，t_n)

(2)

則C上任意點C_i可表示為

C(t_i)=｛x(t_i)，y(t_i)，z (t_i)｝( i = 0，1，2，…，n)

(3)

采用刃線在加工點C_i處的Frenet標架作為游動坐標系，則活動標架的數學表達式為

(4)

顯然，建立這種游動坐標系時，僅考慮了空間刃形曲線的特征，并未涉及包容刃形曲線的刀具外形曲面特征。而在磨削過程中需保證的刀具幾何角度不僅與刀刃曲線有關，同時也與刀具外形表面有關。復雜形狀刀具的幾何角度包括前角、后角、刃傾角等。前角在法剖面內測量(即法前角)；后角在端剖面(及主剖面)內測量；刃傾角由刀具刃形線決定。其中，前角對刀具切削性能影響最大，對加工要求也最高(一般具有等前角要求)；后角的主要作用是減小切削過程中刀具后刀面與加工表面間的摩擦，后角的大小同時影響刀刃強度及刀具耐用度。

設N_i為刀具外形曲面在C_i點的法向量，垂直于曲面在該點的切平面；對于空間回轉曲面而言，通過C_i點、方向向量為N_i的直線必然與回轉曲面的軸線相交。向量B_i為T_i與N_i的叉積。

根據切削刀具角度的定義，對于刀體為回轉表面的復雜形狀刀具，刀刃上一點C_i處的法前角和法后角在法剖面P_n內測量，法剖面P_n通過C_i點且垂直于切向量T_i，切削平面P_s為刀具外形表面在該點的切平面，P_s⊥N_i；基面P_r為點C_i與刀具軸線所確定的平面，因N_i所在直線與刀具軸線相交，因此N_i位于基面P_r內，且與P_s和P_r的交線重合。因此，C_i點刀刃的法前角g_n、法后角a_n分別為法剖面P_n內刀刃前刀面和第一后刀面的截形在刃點處的切線與N_i、B_i之間的夾角(見圖1)。

由微分幾何可知，一個空間曲面上一點的切平面只有一個，該切平面垂直于空間曲面在該點的主法向量N_i。對于回轉面刀具，刀體表面上一點的切平面即為通過該點的切削平面。由于通過一條空間曲線上一點的切平面有一族，因此只有當刀具外形曲面為圓柱面時，Frenet標架所確定的從切平面(C_iT_iB_i坐標平面)才與切削平面重合。在此情況下，根據刀具角度來確定砂輪在游動坐標系中的姿態才是合理的，而對于其它回轉表面(如錐面、球面等)的刀具，僅根據刀具角度來確定砂輪在游動坐標系中的姿態則并不合適。另一方面，為得到連續光滑的前刀面，首先必須保證加工過程中游動坐標系沿刀刃曲線運動的平滑性。由式(4)可知，Frenet標架沿刀刃曲線運動的平滑性條件為刃形曲線C必須具有二階連續導數。而對于復雜形狀刀具(如圓錐球頭立銑刀)，由球頭部分和圓錐部分的刃形曲線組成的空間曲線僅為一階連續曲線，因此采用Frenet標架無法得到平滑變化的游動坐標系。可想而知，在這種坐標系中確定砂輪姿態而獲得的加工結果是難以滿足設計要求的。

由此可見，采用刃線的Frenet標架作為游動坐標系具有一定局限性，并不適合外形曲面為非圓柱面及組合表面的回轉表面復雜形狀刀具的加工。

針對這種情況，在加工復雜形狀刀具時，應綜合考慮刀具外形曲面和刃形曲線的特征，建立一種新型游動坐標系。

根據上述分析，遵循加工基準與測量基準一致的原則，可選取基面P_r、切削平面P_s及法剖面P_n作為游動坐標系的三個坐標平面。由于這三個平面的交線分別與向量T_i、N_i和B_i重合，因此向量T_i、N_i和B_i即為游動坐標系的三個坐標軸(坐標軸方向見圖1)，其數學表達式為

(5)

式(5)表示的新型游動坐標系具有以下特點：

可精確保證刀具角度的設計要求。由于加工基準與測量基準一致，游動坐標系的三個坐標平面即為測量刀具角度的測量平面和輔助平面，砂輪在游動坐標系中的位置及姿態可由刀具幾何角度和其它設計參數直接確定，在加工過程中不發生干涉或干涉區域不影響刀刃鄰域的前提下，被加工刀具的幾何角度可完全滿足設計要求。
具有很好的連續性。由式(5)可知，只要刃形曲線和刀具外形表面具有一階連續偏導數，則游動坐標系的變化便是連續的。

3 砂輪在活動標架中的位置及姿態

在數控磨削過程中，砂輪的位置及姿態可通過其軸線上某一固定點G(如砂輪一個端面的圓心)和砂輪軸單位向量I來確定。為此，必須首先確定砂輪在游動坐標系中的位置及姿態，即砂輪輪心和砂輪軸單位矢量I在游動坐標系中的數學表達式。設砂輪在活動標架中的位置與姿態表達式為

g=g_{T_i}T_i+g_{N_i}N_i+g_{B_i}B_i
I=I_{T_i}T_i+I_{N_i}N_i+I_{B_i}BB_i

(6)

確定砂輪在活動標架中的位置及姿態需考慮以下幾方面因素：

磨削方式：主要指選用何種形式的砂輪以及用砂輪上哪一個(或幾個)表面進行磨削加工。復雜形狀刀具數控磨削所采用的砂輪形狀一般有圓柱形、碟形、碗形等，且同一種砂輪在不同磨削方式中用于磨削加工的表面也不同(如采用碟形砂輪時可選擇其錐面或砂輪周邊進行磨削)。因此，采用不同磨削方式將直接影響磨削過程中的砂輪姿態。
刀具參數：影響磨削過程中砂輪姿態的刀具參數包括刀具的結構參數(刀齒、刀槽等的形狀及尺寸)和幾何角度(前角、后角等)，這些參數在刀具設計時提出，是確定磨削過程中砂輪姿態的重要參數。
不發生干涉的條件：在復雜形狀刀具的數控磨削過程中，刀具的功能表面是由砂輪按特定軌跡運動所形成的包絡面。由于砂輪尺寸遠大于被加工刀具尺寸，磨削加工表面(如刀具的溝槽、棱角等)的尺寸則更小，因此在磨削過程中往往會出現砂輪磨削表面與刀具加工表面之間、砂輪非磨削表面與刀具相鄰刀齒之間的干涉現象。為避免干涉發生，需對磨削過程中砂輪的姿態作一定的調整。

4 刀位計算過程

砂輪在游動坐標系中的位置及姿態確定后，根據機床的運動配置，可按以下步驟進行刀位計算：

將在活動標架C_i-T_iN_iB_i中砂輪輪心G和砂輪軸單位向量I的坐標轉化為工件坐標系O_p-X_pY_pZ_p中的坐標，即

g=g_{T_i}T_i+g_{N_i}N_i+g_{B_i}B_i = g_xpX_p+g_ypY_p+g_zpZ_p
I=I_{T_i}T_i+I_{N_i}N_i+I_{B_i}B_i=I_xpX_p+I_ypY_p+I_zpZ_p
(g_xp，g_yp，g_zp)=(g_{T_i}，g_{N_i}，g_{B_i})R+C_i
(I_xp，I_yp，I_zp)=(I_{t_i}，I_{n_i}，I_{B_i})R

(7)

式中，C_i為刃點C_i在工件坐標系中的向量表示，其轉換矩陣為

R=	[	T_{x_i}	T_{y_i}	T_{z_i}	]
		N_{x_i}	N_{y_i}	N_{z_i}
		B_{x_i}	B_{y_i}	B_{z_i}

圖2 刀體刃線上各點的新型游動標架
圖3 刀體刃線上各點的Frenet標架
圖4 砂輪在游動坐標系中的位置及姿態

(a)	(b)
圖5 仿真加工及實際磨削效果

旋轉工件及其坐標系O_p-X_pY_pZ_p，使砂輪軸單位向量I 與機床砂輪軸平行，并計算出旋轉角度fRT_{c_i}及工件坐標系O_p-X_pY_pZ_p旋轉后G點在機床坐標系O_p-XYZ中的坐標值：

(g_{x_i}，g_{y_i}，g_{z_i})=(g_xp，g_yp，g_zp)M (8)
式中，M為工件坐標系旋轉變換矩陣，與機床的運動配置有關。
在機床坐標系O_p-XYZ中，砂輪上G₀點坐標值與G點坐標值的差值即為機床各直線軸在加工C_i點時移動的絕對值。
機床旋轉軸的旋轉角度為

RT=fRT_{c_i} (9)
式中，RT表示機床的某個旋轉軸(如軸A、B、C等)。
機床各直線運動軸的絕對位移為

{ X=g_{x_i}-g_{0_x}
Y=g_{y_i}-g_{0_y}
Z=g_{z_i}-g_{0_z}
(10)

機床各運動軸移動的相對位移值為在加工點C_i及前一刃點時所分別得到的G點在機床坐標系O_p-XYZ中的坐標值之差。

5 計算實例

根據上述刀位計算方法，以一種等螺旋角、等前角的圓錐球頭立銑刀為例進行數控磨削過程的刀位計算，采用圓環形砂輪進行前刀面磨削。

圖2所示為刀體刃線上各點的新型游動標架。由圖可見，該游動標架無論在錐面、球面還是在兩種曲面的交接處均具有很好的連續性。而圖3所示刀體刃線上各點的Frenet標架在球頭與錐體的交接處明顯不連續。

采用圓環形砂輪磨削圓錐球頭立銑刀前刀面時，可根據刀具的設計法前角來確定砂輪在活動標架中的姿態(如圖4所示)。經驗證，砂輪與工件之間保持該位置關系可保證刀具的設計法前角。

采用新型游動坐標系刀位計算方法的仿真磨削效果如圖5a所示，在磨床上加工的刀具模型見圖5b。由圖可見，采用該刀位計算方法，圓錐球頭立銑刀的前刀面通過一次走刀即可完成加工，并可獲得光滑連續的螺旋形前刀面。

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