拓?fù)湮镔|(zhì)形態(tài)，如具有拓?fù)湫虻牧孔踊魻枒B(tài)以及拓?fù)浣^緣體，是近年來凝聚態(tài)物理領(lǐng)域最大的進(jìn)展之一。在拓?fù)浣^緣體中加入電子之間的強(qiáng)關(guān)聯(lián)相互作用，研究可能涌現(xiàn)的新的拓?fù)湮飸B(tài)，以及拓?fù)湮飸B(tài)之間由于相互作用驅(qū)動(dòng)的拓?fù)湎嘧儯侨藗冴P(guān)心的問題。前期拓?fù)浣^緣體的理論和實(shí)驗(yàn)研究，主要集中于無相互作用或弱相互作用系統(tǒng)，而對(duì)于強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)洳蛔兞康木_計(jì)算卻付之闕如，并且往往存在把無相互作用系統(tǒng)中的拓?fù)洳蛔兞坑?jì)算方法簡(jiǎn)單推廣到相互作用系統(tǒng)中，造成概念和實(shí)踐上的混亂等等現(xiàn)象。因此，如何正確計(jì)算相互作用電子系統(tǒng)中的拓?fù)洳蛔兞浚綔y(cè)相互作用驅(qū)動(dòng)的拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湮飸B(tài)，是十分基礎(chǔ)的問題。

　　中國(guó)科學(xué)院物理研究所/北京凝聚態(tài)物理國(guó)家實(shí)驗(yàn)室（籌）凝聚態(tài)理論與材料計(jì)算實(shí)驗(yàn)室副研究員孟子楊，中國(guó)人民大學(xué)博士研究生何院耀、鄔漢青，教授盧仲毅組成的研究團(tuán)隊(duì)，在相互作用拓?fù)浣^緣體中拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)值計(jì)算方面開展了系統(tǒng)的工作，取得了進(jìn)展。他們首先發(fā)展了計(jì)算相互作用電子系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)值方法，并運(yùn)用大規(guī)模量子蒙特卡洛計(jì)算在常見的拓?fù)浣^緣體模型中進(jìn)行了數(shù)值實(shí)現(xiàn)；然后，更有意思的是，他們找到并嚴(yán)格計(jì)算了幾種相互作用驅(qū)動(dòng)的、沒有對(duì)稱性自發(fā)破缺的拓?fù)淞孔酉嘧儯l(fā)現(xiàn)目前被大量使用的、通過單粒子格林函數(shù)計(jì)算拓?fù)洳蛔兞康姆椒▽?duì)于這類拓?fù)湎嘧兺耆В赋隽爽F(xiàn)有的拓?fù)洳蛔兞坷碚撛谙驈?qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)拓展時(shí)，不能依靠單粒子格林函數(shù)來計(jì)算，而需要在系統(tǒng)的集體激發(fā)中尋找拓?fù)湫畔ⅲ吻辶死碚撋系幕靵y和誤區(qū)。

　　如圖1、圖2所示，在上述研究工作的前半部分中，他們運(yùn)用相互作用系統(tǒng)中的零頻率單粒子格林函數(shù)，設(shè)計(jì)了準(zhǔn)確計(jì)算Z2不變量和自旋陳數(shù)的計(jì)算方法。由于量子蒙特卡洛方法都是計(jì)算有限尺寸的系統(tǒng)，自旋陳數(shù)因?yàn)橛邢蕹叽缧?yīng)得到的都是非整數(shù)的結(jié)果，他們借鑒了團(tuán)簇動(dòng)力學(xué)平均場(chǎng)理論中的周期化方法，提出一種針對(duì)周期函數(shù)的差值方案，有效地克服了自旋陳數(shù)結(jié)果的有限尺寸效應(yīng)，使得即使對(duì)于有限尺寸系統(tǒng)也能計(jì)算得到整數(shù)化的自旋陳數(shù)。

　　如圖3、圖4所示，在上述研究工作的后半部分中，他們使用自己發(fā)展的計(jì)算自旋陳數(shù)的方法探測(cè)了一些相互作用驅(qū)動(dòng)的、沒有對(duì)稱性自發(fā)破缺的拓?fù)淞孔酉嘧儯l(fā)現(xiàn)在某些直積態(tài)（拓?fù)淦接箲B(tài)，自旋霍爾電導(dǎo)率為0）系統(tǒng)中，數(shù)值計(jì)算得到了非零的自旋陳數(shù)。顯然，這個(gè)非零自旋陳數(shù)并不對(duì)應(yīng)物理上可觀測(cè)的自旋霍爾電導(dǎo)率，因?yàn)楹笳咴谥狈e態(tài)為0。這說明用單粒子格林函數(shù)構(gòu)造的自旋陳數(shù)在這樣的直積態(tài)中失效，而他們發(fā)現(xiàn)這樣的直積態(tài)的共同特點(diǎn)是沒有無相互作用的能帶絕緣體能與之不經(jīng)歷相變地、沒有對(duì)稱性破缺地連接。

　　這個(gè)現(xiàn)象背后的原因在于，在無相互作用電子系統(tǒng)中，拓?fù)洳蛔兞坑写_定的物理意義，即對(duì)應(yīng)系統(tǒng)可觀測(cè)的（自旋）霍爾電導(dǎo)率。但是在相互作用電子系統(tǒng)中，用單粒子格林函數(shù)構(gòu)造的拓?fù)洳蛔兞坎⒉粚?duì)應(yīng)于系統(tǒng)中真實(shí)的（自旋）霍爾電導(dǎo)率。長(zhǎng)期以來人們一直有這樣的懷疑，但是并沒有找到真正的例子。孟子楊和盧仲毅團(tuán)隊(duì)的研究工作首次通過嚴(yán)格的數(shù)值計(jì)算給出了用單粒子格林函數(shù)構(gòu)造的拓?fù)洳蛔兞吭谙嗷プ饔猛負(fù)浣^緣體中失效的證據(jù)，給出了用單粒子格林函數(shù)構(gòu)造的拓?fù)洳蛔兞康倪m用條件，指出了在一大類相互作用的拓?fù)湮飸B(tài)中需要在系統(tǒng)的集體激發(fā)中尋找拓?fù)湫畔ⅰ?/p>

　　從現(xiàn)有的研究工作來看，相互作用電子系統(tǒng)中拓?fù)洳蛔兞康臉?gòu)造和分類還遠(yuǎn)不完備，需要使用什么樣的拓?fù)洳蛔兞縼砻枋鱿嗷プ饔昧孔酉嗟耐負(fù)湫再|(zhì)是正在快速發(fā)展的領(lǐng)域。孟子楊和盧仲毅團(tuán)隊(duì)這一系列工作推動(dòng)了相互作用拓?fù)湮飸B(tài)中拓?fù)洳蛔兞康臄?shù)值計(jì)算和拓?fù)湎嘧兊难芯俊Ｔ摴ぷ鞅环譃閮善L(zhǎng)篇幅的文章，連載發(fā)表在Physical Review B（Phys. Rev. B 93, 195163 (2016) 和 Phys. Rev. B 93, 195164 (2016)）。

　　上述工作得到了國(guó)家青年千人計(jì)劃（孟子楊），國(guó)家自然科學(xué)基金和國(guó)家基礎(chǔ)科學(xué)研究計(jì)劃（何院耀、鄔漢青、孟子楊、盧仲毅）的支持。量子蒙特卡洛模擬所需的大規(guī)模的并行計(jì)算在中科院物理所量子科學(xué)模擬中心、中國(guó)人民大學(xué)物理系高性能并行計(jì)算物理實(shí)驗(yàn)室、天津國(guó)家超算中心天河1號(hào)、廣州國(guó)家超算中心天河2號(hào)等計(jì)算平臺(tái)上完成，計(jì)算過程中得到了天津國(guó)家超算中心的有力配合。

    圖1.（a）相互作用拓?fù)浣^緣體中的 Kane-Mele-Hubbard 模型，系統(tǒng)具有最近臨躍遷t，自旋軌道耦合 lambda，三近鄰躍遷 t3，以及可以驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)入能帶絕緣體的最近臨躍遷 td 和庫侖相互作用 U。（b）系統(tǒng)的布里淵區(qū)。

    圖2. 由三近鄰躍遷 t3/t 導(dǎo)致的系統(tǒng)拓?fù)湎嘧儯?a) 顯示 Z2 不變量的變化，（b）,（c）顯示系統(tǒng)自旋陳數(shù)的變化。在自旋陳數(shù)的變化中，L=12 和 L=18 的數(shù)據(jù)為有限尺度蒙特卡洛計(jì)算的結(jié)果，可以看到有限尺度系統(tǒng)的自旋陳數(shù)并沒有整數(shù)化。而從（b），（c）中的 Interpolation 結(jié)果提出的周期函數(shù)差值所得的拓?fù)洳蛔兞恐校梢钥吹接邢蕹叨刃?yīng)被克服，系統(tǒng)自旋陳數(shù)整數(shù)化。

    圖3.（a），（ b） 相互作用拓?fù)浣^緣體的雙層 Kane-Mele-Hubbard-Heisenberg 模型，模型中層間電子的Heisenberg J 相互作用將會(huì)導(dǎo)致新型的相互作用驅(qū)動(dòng)的拓?fù)湎嘧儯嘧冎袥]有對(duì)稱性自發(fā)破缺，系統(tǒng)進(jìn)入拓?fù)淦接沟?dimer-singlet 直積態(tài)。這樣的拓?fù)湎嘧兪怯脝瘟Ｗ痈窳趾瘮?shù)所構(gòu)造的拓?fù)洳蛔兞克鶡o法描述的（見圖4），系統(tǒng)的拓?fù)湫畔⒁诩w激發(fā)中尋找。

    圖4.（a），（b） 相互作用拓?fù)浣^緣體雙層 Kane-Mele-Hubbard-Heisenberg 模型中，層間電子的Heisenberg J 相互作用導(dǎo)致的拓?fù)湎嘧儯瑔瘟Ｗ痈窳趾瘮?shù)所構(gòu)造的自旋陳數(shù)，在相變的左右兩邊都是整數(shù)化的，而在大 J 的 dimer-singlet 相中，系統(tǒng)的自旋霍爾電導(dǎo)率應(yīng)該為零，故其物理的自旋陳數(shù)應(yīng)該為零。這就說明了，在這個(gè)相互作用驅(qū)動(dòng)的拓?fù)湎嘧冎校瑔瘟Ｗ痈窳趾瘮?shù)不能正確反應(yīng)系統(tǒng)的自旋霍爾電導(dǎo)率。